Bonjour Aude,
Pour commencer c'est une courroie de distribution et non une chaîne qui est sur votre Logan, et malheureusement certaines s'usent plus précocement.
J'ai moi aussi une Logan mcv de 2011, les courroies distribution et accessoires ont été remplacées elle avait 10 ans d'age, pour un peu moins de 100000km. (voir les préconisations des constructeurs).
Tentez une négociation auprès de votre concession, pour une participation aux frais de changement de la courroie, toutefois je crains qu'ils refusent net. J'en suis bien désolé pour vous.
Cordialement.